양자정보이론을 위한 선형대수

개론

본 포스트에서는 양자역학 및 양자정보이론을 이해하기 위해 필요한 선형대수개념에 대해 정리한다. 선형대수 개념에 물리학자들은 양자역학용으로 디락 표기법 (Dirac Notation) 을 도입했는데 차후 다룰 양자역학공론 및 양자정보이론을 이해하는데 있어 반드시 익숙해져야할 표기법이다. 따라서 선형대수 개념과 함께 디락 표기법 도 같이 설명할 것이다.

1. 디락 표기법 (Dirac Notation)

선형대수의 기본 대상은 벡터 공간 (Vector space) 이며 이러한 벡터 공간들 중 집중할 부분은 복소수로 구성된 복소 벡터 공간 이다. $\mathbb{C}^n: \text{복소벡터 }\{z_1, z_2, ..., z_n\}\text{로 구성된 복소 벡터 공간}$

벡터 공간의 원소는 열 행렬 표기법 (Column Matrix Notation)을 통해 나타내며, 이는 디락 표기법에서 $\vert \cdot \rangle (ket)$로 나타낸다.

\[\vert v \rangle = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ \vdots \\z_n \end{pmatrix}\]

행 벡터의 경우 $\langle\cdot\vert (bra)$ 로 나타낸다. (벡터 $v$의 쌍대벡터, dual-vector라 부르기도 한다)

\[\langle v \vert = \begin{pmatrix} z_1^* \ z_2^* \ z_3^* \ \cdots \ z_n^* \end{pmatrix}\]

벡터 공간의 정의 자체는 차후 힐베르트 공간에 대한 정의에 대한 포스트에서 다룰 예정이다.

2. 기저와 선형독립 (Basis and Linarly Independent)

기저(Basis) 를 설명하기 앞서 생성 집합(Spanning set), 생성(Span), 선형종속(Linearly Dependent) 개념을 알 필요가 있다.

생성 집합(Spanning set) : 벡터 공간에 속한 벡터를 이용하여 해당 벡터 공간내 벡터를 표현할 수 있는 벡터 집합 $\{\vert v_1\rangle, \vert v_2\rangle, \cdots, \vert v_n\rangle \} \text{에 대하여 } \vert v \rangle = \sum_i a_i\vert v_i \rangle$
생성(Span) : 생성집합이 벡터 공간을 만드는 것
선형 종속(Linearly Dependent) $\begin{gather*} \text{적어도 하나의 } a_i \neq 0 \text{ 일 때} \\ a_1 \vert v_1 \rangle + a_2 \vert v_2 \rangle + \cdots + a_n \vert v_n \rangle = 0 \\ \text{를 만족하는 } \text{복소수 집합} \{a_1, a_2, \cdots, a_n\} \text{은 선형 종속이다.} \end{gather*}$

선형종속과 반대 $a_1 \vert v_1 \rangle + a_2 \vert v_2 \rangle + \cdots + a_n \vert v_n \rangle \neq 0$인 복소수 집합은 선형 독립(Linearly Independent) 라 한다. 선형 독립이며 벡터 공간을 생성하는 복소수 벡터 집합을 기저 (Basis) 라 부르며 기저의 원소 수가 해당 공간의 차원이 된다.

3. 선형연산자와 행렬

선형 연산자는 다른 벡터 공간으로 변환하는 연산이며 선형 연산자 $A$에 대해 $A: V \rightarrow W$ 로 정의된다. $A(\sum_i a_i\vert v_i \rangle ) = \sum_i a_iA(\vert v_i \rangle)$

선형 연산자($A: V\rightarrow W$)는 다음과 같이 행렬로 나타낼 수 있다. ($\vert v_i \rangle, \vert w_j \rangle$는 기저벡터다.) $A\vert v_j \rangle = \begin{pmatrix} A_{1j} \\ A_{2j} \\ \vdots \\ A_{nj} \end{pmatrix} = \sum_i A_{ij}\vert w_i \rangle$

위 식을 직관적으로 설명하자면 벡터 $\vert v_j \rangle$의 선형 연산은 출력기저의 합으로 나타낼 수 있음을 보인 것이다.

파울리 행렬 (Pauli Matrix)

선형 연산자들 중 유용한 연산자 (파울리 연산자)는 양자정보이론에서 많이 사용되므로 소개한다.

연산자	기호	행렬 표현
파울리 $X$	$\sigma_x$	$\begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$
파울리 $Y$	$\sigma_y$	$\begin{bmatrix} 0 & -i \ i & 0 \end{bmatrix}$
파울리 $Z$	$\sigma_z$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}$
항등 연산자 $I$	$\sigma_0$	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. 내적 (Inner Product)

내적이란 어떤 벡터공간의 두 벡터를 입력으로 받아 복소수를 출력하는 함수로 $\langle v \vert w \rangle$로 나타낸다. 이때 벡터 공간은 내적공간이어야 하며 다음 조건 만족 시 내적이 된다.

선형성: $\langle x+z \vert y \rangle = \langle x \vert y \rangle+\langle z \vert y\rangle$, $\langle v

\lambda w\rangle = \lambda\langle v

w\rangle$, $\langle \lambda v

w\rangle = \lambda^*\langle v

w\rangle$

켤레 대칭: $\overline{\langle v \vert w \rangle} = \langle w \vert v \rangle$
$\langle v \vert v \rangle \ge 0$ 이며 등호를 만족시키는 필요충분조건은 $\vert v \rangle = 0$이다.

내적공간에 관해서는 힐베르트 공간에 대한 포스트에서 다룰 예정이다.

$\langle v \vert w \rangle=0$ 일때 두 벡터는 직교한다.
벡터의 노름(Norm): $| \vert v \rangle | = \sqrt{\langle v \vert v \rangle}$
단위 벡터(Unit vector): 벡터의 노름이 1인 벡터

선형 연산자와 행렬에서 연산자를 내적을 이용해서 표현할 수 있는데, 연산자 $A: V\rightarrow W$는 각 벡터공간 $V,W$에 속한 벡터 $\vert v \rangle, \vert w \rangle$에 대해 $\vert w \rangle \langle v \vert$로 나타낸다. $(\vert w \rangle \langle v \vert) \vert v' \rangle = \langle v \vert v' \rangle \vert w \rangle$ 이는 벡터 $\vert w \rangle$에 복소수 $\langle v \vert v’ \rangle$를 곱한 것이라 본다.

완비성 관계 (Completness Relation)

벡터 공간 $V$에 대한 정규직교 기저 $\vert i \rangle $에 대해 $\vert v \rangle = \sum_i v_i\vert i \rangle$인 벡터에 연산자 $\sum_i\vert i \rangle \langle i \vert$를 적용하면 $\sum_i\vert i \rangle \langle i \vert v \rangle = \sum_i v_i\vert i \rangle = \vert v \rangle$ 가 되며 따라서 $\sum_i\vert i \rangle \langle i \vert = I$를 만족한다. 이떄 $\sum_i\vert i \rangle \langle i \vert = I$를 완비성 관계 라 한다.

이를 응용하여 어떠한 선형연산자를 외적으로 나타낼 수 있다. $\begin{align*} A&: V \rightarrow W \\ A &= I_WAI_V \\ &= \sum_{i,j} \vert w_i \rangle \langle w_i \vert A \vert v_j \rangle \langle v_j \vert \\ &= \sum_{i,j} \langle w_i \vert A \vert v_j \rangle \vert w_i \rangle \langle v_j \vert \end{align*}$s (선형 연산자를 외적으로 나타내는 예시)

5. 고유벡터와 고유값 (Eigen vector, Eigen value)

$A\vert v \rangle = \lambda \vert v \rangle$ 위의 식을 만족하는 $\lambda$를 $A$의 고유값(Eigen value), $\vert v \rangle$를 $A$의 고유벡터라 하며 고유공간(Eigen space)은 $\lambda$ 고유값을 갖는 벡터 집합이다.

고유값을 찾는 방법에 대해 다시 복기해보자. 고유값이 존재하기 위해서는 $(A-\lambda I )\vert v \rangle = 0$을 만족하는 $\vert v \rangle$가 존재해야하며 이는 $(A-\lambda I)$의 역행렬이 존재하면 안됨을 말한다. 즉 $det(A-\lambda I)=0$인 $\lambda$를 구하면 고유값을 찾을 수 있다.

하나의 고유값 $\lambda$에 대하여 선형 독립인 고유벡터가 여러개 존재할 경우 축퇴(Degenerate)되었다고 얘기한다. 축퇴가 도리 경우 기저 선택의 자유도가 달라지는데 하나의 고유값에 대한 여러개의 선형독립 고유벡터가 생성한 고유공간내에서 기저선택이 가능하기 떄문이다. (고유공간내 어떠한 벡터들도 고유벡터가 된다.) 반면 비축퇴(Non degenerate)의 경우 하나의 고유값에 대해 하나의 고유벡터만 있기 때문에 측정값 하나당 기저가 하나씩 선택된다.

6. 에르미트 켤레와 에르미트 연산자 (Hermitian conjugate and Hermition operator)

힐베르트 공간 $V$에서 임의의 선형연산자 $A$에 대하여 $(\vert v \rangle,A\vert w \rangle)=(A^\dagger \vert v \rangle, \vert w \rangle)$을 만족하는 유일한 선형 연산자 $A^\dagger$가 존재하며 이를 $A$연산자의 에르미트 켤레(Hermitian conjugate) 라 부른다. 이때 $A^\dagger = (A^T)^*$이다.

연산자 $A$가 $A^\dagger$와 같을 떄 이를 에르미트 연산자(Hermitian operator) 라 부른다. $A = A^\dagger$

사영 연산자 (Projector)

에르미트 연산자 중 중요한 것은 사영연산자다. 벡터공간 $V, W$에 대해 연산자 $P: V \rightarrow W$는 다음과 같이 정의할 수 있다. $P \equiv \sum_i \vert i \rangle \langle i \vert$ ($\vert i \rangle$은 벡터공간 $W$의 정규직교기저이다.)

위의 식을 분석하자면 벡터 공간 $V$의 벡터 $\vert v \rangle$에서 벡터공간 $W$의 성분값을 추출 ($\langle i \vert v \rangle$, 복소값)이를 다시 벡터공간 $W$의 벡터로 맵핑 ($\langle i \vert v \rangle \vert i \rangle$) 하는 것으로 볼 수 있다.

직교여연산자$Q$는 $Q \equiv I-P$로 정의한다.

$m$ 차원 벡터 공간 $V$의 기저 ${\vert v_1 \rangle, \vert v_2 \rangle, \cdots, \vert v_m \rangle }$, 벡터공간 $V$의 부분공간이자 $n$차원인 벡터 공간 $W$의 기저 ${\vert v_1 \rangle, \vert v_2 \rangle, \cdots, \vert v_n \rangle }$ 에 대해 사영연산자 $P: V \rightarrow W$의 직교여연산 $Q$는 ${\vert v_{n+1} \rangle, \vert v_{n+2} \rangle, \cdots, \vert v_m \rangle }$로의 투영이다.

7. 스펙트럼 분해 (Spectral Decomposition)

에르미트 연산자 $A$는 고유값 $\lambda_i$와 고유벡터 $\vert v_i \rangle$에 대해 항상 $A=\sum_i \lambda_i\vert v_i\rangle\langle v_i\vert$로 분해된다. 이를 스펙트럼 분해(Spectral Decomposition)이라 부른다.

이는 양자 역학에서 관측과 연결되며 특정 기저로의 관측값 즉 고유값을 얻는데 사용된다. 예를 들어 측정연산자 $M_i = \sum_i \lambda_i \vert i \rangle \langle i \vert$로 측정을 한다고하자. (측정연산자에 대한 것은 추후 양자측정에서 자세히 설명할 것이니 여기서는 예시로 넘어가면된다.) 이때 $\lambda_i$가 측정될 확률은 해당 고유값의 고유벡터 $\vert i \rangle$을 통해 $P(\lambda_i) = \vert\langle i \vert \psi \rangle \vert^2$로 나타낸다.

\[\begin{align*} \langle \psi \vert M\vert \psi \rangle &= \sum_i\lambda_i\langle\psi\vert i \rangle \langle i\vert\psi\rangle \\ &= \sum_i \lambda_i \overline{\langle i \vert\psi\rangle} \langle i \vert \psi \rangle \\ &= \sum_i \lambda_i P(\lambda_i) \\ &= \mathbb{E}(\lambda_i) \end{align*}\]

8. 텐서곱 (Tensor product)

텐서곱은 벡터공간을 더 큰 벡터공간으로 표현하는 방식이다. 이는 단일 양자계뿐 아닌 다입자계를 설명하는데 사용된다. 텐서곱 표현은 아래와 같다.

\[\begin{align*} &\vert v \rangle \otimes \vert w\rangle \\ &= \vert v \rangle \vert w \rangle \\ &= \vert vw \rangle \end{align*}\]

텐서곱의 성질은 다음과 같다.

$z(\vert v \rangle \otimes \vert w \rangle) = (z\vert v \rangle)\otimes\vert w \rangle = \vert v \rangle \otimes (z\vert w \rangle)$
$(\vert v_1 \rangle + \vert v_2 \rangle)\otimes \vert z \rangle = \vert v_1 z \rangle + \vert v_2 z \rangle$
$\vert v \rangle \otimes (\vert w_1 \rangle + \vert w_2\rangle) = \vert vw_1\rangle+\vert vw_2\rangle$

동일한 상태의 반복적인 텐서곱 $\vert \psi \rangle \vert\psi\rangle\cdots\vert\psi\rangle = \vert\psi\rangle^{\otimes k}$로 나타낼 수 있다.

연산자가 텐서곱 공간에 적용시 선형성이 보장하는 방식으로 $V\otimes W$ 모든 원소로 확장된다. $(A_v\otimes B_w)(\vert v \rangle \otimes \vert w \rangle) \equiv A\vert v \rangle \otimes B \vert w \rangle$

이러한 텐서곱은 크로네커 곱 (Kroneker product)를 통해 나타낼 수 있다. (연산자 $A$는 $m\times n$행렬) $A \otimes B = \begin{pmatrix} A_{11}B & A_{12}B & \cdots & A_{1n} \\ A_{21}B & \cdots & & A_{2n} \\ \vdots & \ddots \\ A_{m1}B & A_{m2}B & \cdots & A_{mn} \end{pmatrix}$